关于向量求导问题


QQ图片20170505232922.jpg

各位大神,这个怎么算,给一下具体的过程以及结果
@mapleguan
已邀请:

mapleguan

赞同来自: chenYang czh55@qq.com


这个问题非常有趣,对于向量求导,我们比较熟悉的是\(\frac{dAx}{dx} = A\).

此题中求导的(向量值)函数为\((v_j-v_i)\times(v_k-v_i) = (v_j\times v_k) + (v_k - v_j)\times v_i\), 当关于\(v_i\)求导时,第一项\(v_j\times v_k\) 的导数为0向量。而第二项\((v_k - v_j)\times v_i\)是一个关于\(v_i\)的线性映射,那么我们是否可以把\((v_k - v_j)\times v_i\) 写成 \(A v_i\)的形式呢?

答案是肯定的!

实际上任何两个列向量\(w=[a,b,c]^T,v=[x,y,z]^T\), 外乘积 \(w \times v = Av\), 其中 \(A\)是如下的矩阵:
 0 -c  b
 c  0 -a
-b  a  0


若我们定义线性算符\(\mathcal{F}\)使得 \(\mathcal{F}(w) = A\),那么所求问题的答案就是:
\(\mathcal{F}(v_k-v_j)\)
具体来说如果\(v_k=[a_k,b_k,c_k]^T, v_j=[a_j,b_j,c_j]^T\)那么\(\mathcal{F}(v_k-v_j)\) 就等于:
 0        c_j-c_k  b_k-b_j
 c_k-c_j  0        a_j-a_k
 b_j-b_k  a_k-a_j  0

要回复问题请先登录注册